Родился 5 октября 1921 года в городе Тюмени в семье служащего.

В 1932 году семья переехала в Свердловск. В 1939 году поступил в Свердловский горный институт, но уже в сентябре этого же года призван в Красную армию на срочную службу, служил в танковых войсках. Окончил школу младших командиров. Затем переведён в ВВС и в 1940 году окончил Челябинское военное авиационное училище лётчиков-наблюдателей.

С июня 1941 года — на фронте. Воевал в составе 511-го бомбардировочного авиационного полка ВВС Западного фронта, штурман экипажа бомбардировщика «ТБ-3». Участвовал в Смоленском оборонительном сражении и в битве за Москву. В апреле 1942 году полк был выведен с фронта, переформирован в 511-й разведывательный авиационный полк. После переобучения (на самолёт Пе-2), вернулся в действующую армию в июне 1943 года.

Сражался на Степном и 2-м Украинском фронтах. Участник Курской битвы, Белгородско-Харьковской и Полтавско-Кременчугской наступательных операций, форсирования Днепра, Нижнеднепровской, Уманско-Ботошанской, Ясско-Кишиневской, Бухарестко-Арадской, Будапештской наступательных операций.

Старший лётчик-наблюдатель 511-го отдельного разведывательного авиационного полка (5-я воздушная армия, 2-й Украинский фронт) старший лейтенант Опрокиднев к середине августа 1944 года выполнил 113 боевых вылетов на разведку войск, военных объектов и оборонительных сооружений противника. Сфотографировал 42 409 квадратных километров занятой врагом территории, сбросил свыше 1,6 миллиона листовок. В пяти воздушных боях экипаж сбил истребитель врага.

Почти два года летал в экипаже с лейтенантом Николаем Савенковым, их экипаж считался лучшим разведывательным экипажем в полку. Особо помогли командованию ценные сведения. доставленные экипажем Опрокиднева-Савенкова в период боёв под Харьковом, при подготовке Одесской и Ясско-Кишиневской наступательных операций.

Представление командира полка к званию Героя Советского Союза было подписано 16 августа 1944 года, но наградной указ был подписан с большой задержкой.

2 апреля 1945 года самолёт Бориса Опрокиднева и Николая Савенкова был сбит в воздушном бою. К этому дню Борис Опрокиднев выполнил 143 боевых вылета. Похоронен в населённом пункте Пештсентлёринц (юго-восточная окраина Будапешта, Венгрия).

Указом Президиума Верховного Совета СССР от 15 мая 1946 года старшему лейтенанту Опрокидневу Борису Константиновичу и старшему лейтенанту Николаю Савенкову присвоены звания Героев Советского Союза.

Борис Константинович Опрокиднев награждён орденом Ленина, двумя орденами Красного Знамени, орденами Отечественной войны 1-й и 2-й степеней.

Именем Героя в Тюмени названа улица в третьем Тюменском микрорайоне, в Екатеринбурге — средняя школа № 65, во дворе школы установлен памятник Герою, а на здании школы — мемориальная доска. Имя Героя высечено на памятнике Героям — студентам и преподавателям екатеринбургского горного института.

Герои Советского Союза: Краткий биографический словарь / Пред. ред. коллегии И.Н. Шкадов. — М.:Воениздат, 1988.